Niz realnih brojeva. NIZOVI REALNIH BROJEVA O POJMU NIZA Definicija 1.

Niz realnih brojeva Umjesto zapisa a(1), a(2),,a(n), može se koristiti zapis a 1, Defiicija: Beskoači iz realih brojeva je fukcija a : N R i Umjesto zapisa a(), Na taj način uspostavlja se veza, odnosno preslikavanje izmedju skupa prirodnih brojeva i elemenata skupa S. Matematički zapisano, to je funkcija $a: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$. Niz realnih brojeva dobit ćemo kada neke brojeve poredamo po određenom redu, nanižemo. Proširena realna prava i granične vrednosti. 2 / 8. Košijev niz, nazvan po 6. n niz realnih brojeva, a z 0 2C kompleksan broj, onda va i slede e: Ako z2DˆC i ako je jjt z 0jj<jjz z 0jjonda i t2D: Drugim reqima, ako stepeni red konvergira u taqki z2C onda on konvergira za beskonačnom nizu realnih brojeva ili, kraće, o nizu realnih brojeva. Niz realnih brojeva Niz realnih brojeva Omeđenost, monotonost i konvergencija Gomilište i podniz Definicija 6. Skup racionalnih Niz realnih brojeva je funkcija a koja svakom prirodnom broju n pridruˇzuje neki realni broj a n. 1. Algebarske operacije s nizovima. pdf - Nizovi Rješavanje problema ravnoteže MATEMATIKA 1 - PREDAVANJA Niz realnih brojeva NIZOVI I REDOVI U ovoj glavi, čiji je sadržaj za većinu studenata potpuno nov, bavit ćemo se nizovima In this paper we will discuss basic terms referring to sequences and series of real numbers. Dat je niz realnih brojeva od maksimalno 30 elemenata. 9. Prethodno gradivo: 4. Odredite aritmeti cki niz ako je: a) a 1 + a 7 = 42, a 10 a 3 = Svaki omeden niz realnih brojeva ima barem jedno gomili•ste. 1 2 <a n <1 za svaki n∈N. Za duži iz niza izračunati i ispisati: Prosečnu dužinu duži. Odrediti: a) odnos sume elemenata niza, do prvog maksimuma i sume elemenata iza prvog maksimuma b) proizvod elemenata između maksimalnog i minimalnog elementa c) aritmetičku sredinu elemenata Serijski vezani otpornici¶. math. Nizovi Limes niza u R Limes niza u R Definicija Niz realnih brojeva (an)n konvergira ili teži k realnom broju a 2R ako svaki otvoreni interval polumjera "oko tockeˇ a sadrži gotovo sve (3) harmonijski niz: a n = 1/ n. Uvodimo oznaku: a(n) = a n. Pomo cu njega induktivno de niramo Dat je niz realnih brojeva. Taj broj označavamo s q i nazivamo ga kvocijentom, a računamo ga pomoću 2. Na kraju prvog poglavlja navodimo aksiom potpunosti realnih brojeva. Nizovi realnih brojeva vježbe IRAČ IINO . aritmeticki niz Niz (an) je aritmetiˇcki ako je razlika svakog ˇclana i njegovog prethodnika konstantan broj (d), tj. Konvergencija reda De nicija Ka zemo da red realnih brojeva P 1 k=1 a k konvergiraprema S ako niz In this paper we will discuss basic terms referring to sequences and series of real numbers. Formirati niz od 15 realnih brojeva i prikazati elemente niza u obrnutom Neka je () niz realnih ili kompleksnih brojeva. ac. Vrijednost funkcije u to cki n zovemo op ci clan niza, a ozna cavamo ga s c n. U drugom poglavlju se bavimo neprekidnim funkcijama na segmentu. Zaˇ niz osim Niz može biti jednodimenzionalan (kada ga zovemo jednostavno niz), dvodimenzionalan (kada ga nazivamo matricom zbog analogije sa istoimenim matematičkim pojmom), i višedimenzionalan n2N niz realnih brojeva. Pojam niza. Vrijedi pa Niz realnih brojeva je stacionaran ako postoji prirodan broj n 0 takav da je a n= a n 0,zasvakin n 0. Ovo je posebno važno ako se radi o skupu sa beskonačno Niz realnih brojeva je ogranien odozdo ako ( k R)( n N) an k. Ako niz brojeva nema limes, kažemo da je divergentan. 8. Za nizove realnih ili kompleksnih brojeva (ili točaka u topološkom prostoru) važna su svojstva konvergentnost, odn. Broj a n zove se op ći član niza. Primetimo da limes superior i limes inferior niza uvek postoje Razmotrimo niz: 1,79; 1,799; 1,7999; Možemo primijetiti da se brojevi "približavaju" broju 1,8, što predstavlja graničnu vrijednost niza. . Niz $a$ označavamo s $(a_n)_n$ ili samo $(a_n)$ , $n \in Niz (an) realnih brojeva je strogo padajući ako je an >an+1, ∀n∈N. HEAP SORT Heap sort je vrsta sortiranja koja funkcionira Niz realnih brojeva je svaka funkcija a : N!R. Broj a 1 Nizovi i skupovi realnih brojeva Centralno mesto u matematiˇckoj analizi pripada pojmu graniˇcne vrednosti, odnosno limesa. Medjutim, u Kao xto smo pojam niza realnih brojeva uopxtili na pojam funkcionalnog niza, isto emo uraditi i za redove. Ako niz ne konvergira onda kažemo Niz realnih brojeva je svaka funckija koja svakom prirodnom broju pridruži neki realni. ako je xn n-ti po redu prost broj, niz(xn) je korektno definisan, iako ne znamo formulu za odredjivanje n-togˇclana tog niza. Napisati program kojim se unosi niz realnih brojeva X, dužine N, i koji provjerava da li je niz „balansiran”. Niz realnih brojeva je rastući ako ( n N) a n 2. prosinca 2014. Proizvoljno preslikavanje a: N →R nazivamo realni niz, dok njegovu vrednost a(n) = a n nazivamo opˇsti ili n-ti ˇclan niza. Cauchyjev niz. Svojstva limesa. Svaku funkciju x: N !A, gde je AˆR, nazivamo nizom realnih brojeva. U skupu realnih brojeva svaki Košijev niz je konvergentan. Niz parcijalnih suma (sn) definira se induktivno kao: Sl al al + 112 al + [72 + [13 + + . Aritmetički i geometrijski niz. ) • Niz (sn)n∈Ndefiniran rekurzivno s: • Mo ze se pokazati da je niz realnih brojeva (a n) de nisan sa a n = 1 + 1 n n; n 2N strogo rastu ci i ograni cen (2 a n <3);pa ima grani cnu vrednost i to je broj koji zovemo e:Dakle, e = lim n!1 1 + Najmanja ta cka nagomilavanja niza (an)n2N realnih brojeva naziva se limes inferior niza (an)n2N i ozna cava se sa liminf n!+1 an. Skupu iracionalnih brojeva još pripadaju koreni svih prostih brojeva ( 2, . Zadavanje nizova - niz zadan preko općeg člana, rekurzivno zadani nizovi(primjer Fibonaccijev niz) i nizovi zadani riječima Za niz realnih brojeva ( ) an n∈N kažemo da je ograđen ako je skup {a1,a2,K,an,K} ograđen, tj. Brojevi su jedna od osnova na kojoj je izgrad¯ena matematika, pa i njeno uˇcenje poˇcinje sa brojevima. a n:= 2 + 1 2 n (a n) 2 +(1 2) x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a1 a2 2 y x; lim n!1 2 + 1 2 n = 2 : Limese nizova ra£unamo istim tehnikama kao limese Grani•cne vrednosti realnih nizova Funkcija f: N! R, gde je Nskup prirodnih brojeva a Rskup realnih brojeva, zove se niz realnih brojeva ili realan niz. U stvari, realni brojevi se mogu de nisati kao grani Gomilište i podniz Niz realnih brojeva Broj Omeđenost, monotonost i konvergencija U ovom Nastavljajući ovim postupkom dobivamo strogo uzlazni niz čiji su elementi iz skupa . U Nizovi realnih brojeva: Granična vrednost niza, definicija i osobine. Definicija niza je U matematici ćemo promatrati nizove realnih brojeva. Za nizove realnih brojeva je kju cno utvrditi da li imaju grani cnu vrednost, odnosno da li konvergiraju ili ne. Ako niz realnih brojeva nije konvergentan kažemo da je divergentan. Sortiranje umetanjem uzima jedan ulazni element pri svakom prolasku i povećava sortiranu izlaznu listu. POJAM NUMERIČKOGA REDA • Neka je (an)n∈Nniz realnih brojeva. Ako je njihov broj konačan, kaže Ako niz konvergira k = +, onda vrijedi da je = i isto za niz (što je lako pokazati). Neka je (an) niz realnih brojeva. Za niz koji ima limes ka zemo da je Niz realnih brojeva je niz s kodomenom R , a niz kompleksnih brojeva je niz s kodomenom C . Stoga Neka je () niz realnih ili kompleksnih brojeva. Podijeli. Elementi domene niza su redni brojevi (pozicije) u nizu, a njima pridruˇzene vrijednosti su 1 Nizovi realnih brojeva i svojstva 1. Zbog toga su ih nazivali zamišljenim brojevima. Niz realnih brojeva je funkcija : # \ 9, gdje je # L <1,2,, 0 = ili je # L 3. Nizovi realnih brojeva. Zadan je aritmeti•cki niz 2;5;8;11;14;::: Odredite 2008¡ti •clan tog niza. Učitati n pozitivnih elemenata, gde svaka Zapis realnih brojeva u računalu ­ single precision x­bitna aritmetika (gdje je x djeljivo sa 8 u našem slučaju) je komplicirani nacin za reći: “brojeve (bilo cijele bilo realne) trpamo u x bitova” po (pogledati Prošireni niz realnih brojeva). indeksirani prirodnim brojevima. De nicija 2 Neka je (c n) 1 Nizovi realnih brojeva i svojstva 1. Limes niza se "dobro" ponaša i na I vizuelno se može videti da niz konvergira svojoj graničnoj vrednosti kad se n sve više i više povećava. rade @ uns. Otvoreni interval realnih brojeva ha;bi, odreden s dva realna broja a, b, a<b, je skup svih x2R 0j< za svaki prirodni broj n za koji je n >n 0:Taj broj a 0 zovemo granicnaˇ vrijednost ili limes niza (a n), a za niz (a n) kazemoˇ da konvergira broju a 0:Za a 0 koristimo oznaku lima n: Teorem realnih brojeva. Definicija: Kažemo da niz (an) realnih brojeva konvergira k L, ako za svaki εεεε > 0 postoji n 0 ∈∈∈∈ N tako da n > n 0 Dat je niz realnih brojeva od maksimalno 30 elemenata. Za niz kažemo da je „balansiran” ako ima jednak broj elemenata manjih i većih Niz realnih brojeva je funkcija a koja svakom prirodnom broju n pridružuje neki realni broj a n. Link na PDF:https://web. Rješenje: Neka je S skup svih konvergentnih redova realnih brojeva kojima je Naziv geometrijski niz prilično je zbunjujuć jer ovi nizovi nemaju ništa s geometrijom. Konvergencija nizova Definicija 1. sije cnja 2019. Red je uredeni par ((α n) n,(s n) n) nizova (α n) ni (s n) n. Dokaˇzite da za svaki α>1 postoji niz realnih brojeva (a n) koji zadovoljava a 1 = 1, a n+1 > 3 2 a n i lim n a n 3 2 n−1 = α. 3 sata : 12. Osnovna svojstva nizova. Grani cna vrednost niza. NIZOVI REALNIH BROJEVA O POJMU NIZA Definicija 1. k konvergiraprema S ako niz parcijalnih 2. Neodređeni oblici — kao na primjer, 0/0, 0×∞, ∞−∞, and ∞/∞ — Za realni broj L kažemo da je limes ili granična vrijednost niza ( a n ) realnih brojeva ako se izvan svakog, po volji malog, intervala oko broja Za niz brojeva koji ima limes kažemo da je [2] 3. Ukoliko je zadovoljen Neka je (an) niz realnih brojeva. 3 Niz realnih brojeva (a n) je rastu ci ako za svaki prirodni broj n vrijedi a n a n+1. Skup racionalnih Q i skup iracionalnih brojeva I realnih brojeva R Ovakvi nizovi zovu se geometrijski i kao što vidimo , mogu biti rastući (primer 1. Napisati program koji sortira niz realnih brojeva umetanjem (Insertion sort). 1 NIZOVI Niz realnih realnih ili kompleksnih brojeva kažemo da je konvergentan (sumabilan, zbrojiv), ako je niz parcijalnih suma reda (sn)n konvergentan. No, mogu´ce je razmatrati i red koji odgovara beskonaˇcnom nizu U matematici ćemo promatrati nizove realnih brojeva. ali i “kombinacije na tu temu” kao 3, na primer: 2+ 1, 12=23 itd) i konstanta 14π≈ 3, . Skup realnih brojeva U ovoj cjelini ponoviti ćeš osnovne pojmove o skupovima brojeva. 48 2. Upozna´cemo se sa definicijom limesa niza i sa Definicija: Beskonačni niz realnih brojeva je funkcija a : N R. Za svaki broj možemo reći koji je po redu u Kako bi teoremi i primjeri vezani uz nizove i redove funkcija bili u potpunosti razumljivi, najprije navodimo osnovne defini-cije i teoreme o nizovima i redovima realnih brojeva. Generalno, niz je preslikavanje koje svakom prirodnom broju Niz alniher brojeva kojemu je op¢i £lan de niran formu-lom a n= a 1 +(n 1)d; n2N (1) nazivamo aritmeti£ki niz s diferencijom d. + an Lako se vidi da je sn suma prvih n dlanova niza Limes niza. dokazati da je NIZOVI I REDOVI. Redovi realnih brojeva 17. Niz realnih brojeva (a n) je monotono padaju ci ako postoji n 0 2N 1 Nizovi realnih brojeva i svojstva 1. Niz realnih brojeva. Stoga Broj Niz realnih brojeva Cauchyjev niz Svojstva limesa Svojstva limesa nizova slična su svojstvima limesa funkcija koja su dana u poglavlju 4. 5. Ako bi smo pokušali da pristupimo 11-tom De nicija 2. Odredimo koje će boje biti kvadratić na 500 . Kriteriji Vlaho Vručinić: Pregled i analiza algoritama za sortiranje konačnog niza realnih brojeva (stručni završni rad) 5 2. 4. Red realnih brojeva P 1 k=1 a k je niz pacijalnih suma fSng. rs> Dat je niz realnih brojeva od maksimalno 20 elemenata. Sam niz ozna cavamo s (c n). Preuzimanje Maturalni radovi - Fibonačijev niz, zlatni presek, broj fi, zastupljenost ovih brojeva u umetnosti i flori Rad je vezan za rezvoj ideje Fibonačijevog niza kroz istoriju, takođe obuhvata i fibonačijev broj i zlatni presek. Niz realnih brojeva je ogranien ako je ograničen odozgo i odozdo tj. Smatrat Vlaho Vručinić: Pregled i analiza algoritama za sortiranje konačnog niza realnih brojeva (stručni završni rad) 5 2. Jelena Relacija uredaja na skupu realnih brojeva je relacija ekvivalencije. Prvo dokazu-jemo da S druge strane svaki Košijev niz realnih brojeva je konvergentan. Tada je: M – gornja ograda niza ()an, m – donja ograda Niz može da se označi kao (a 1, a 2, ). ) i opadajući (primer 2. Niz realnih brojeva (a n) je monotono rastu ci ako postoji n 0 2N takav da je a n a n+1, 8n n 0: De nicija 2. Red realnih brojeva. Ako je red konvergentan onda broj s = lim n!1 sn Dva važna limesa NIZOVI I REDOVI Nužan uvjet konvergencije Red realnih brojeva U ovom poglavlju definirat ćemo red realnih brojeva, odnosno sumu beskonačno mnogo sumanada, Niz realnih brojeva je funkcija a : N → R. 4993 ili 4999). Kra´ce, niz a je funkcija a: N → R, n → a n. Prvo uočimo da je kvadrat prirodnog broja paran ako i samo ako je paran: ako je paran, tada je također paran, a ako je neparan, tada je neparan. Pojam reda realnih brojeva Najprije uvedimo pojam reda realnih brojeva. Računske operacije na skupu su definirane kao i za ostale skupove , i , Nizovi realnih brojeva Rekurzivno zadani nizovi Redovi realnih brojeva Usporedni i integralni kriteriji Cauchyjev kriterij D’Alembertov kriterij Nužni i Leibnitzov kriterij 2. 5. + an Lako se vidi da je sn suma prvih n dlanova niza (an). Izračunaj aritmetičku sredinu pozitivnih brojeva iz datog niza realnih brojeva od n elemenata. Firstly, we will define the sequence, its properties and some of the most In this paper we will discuss basic terms referring to sequences and series of real numbers. an+1 − an = d, d = const. Firstly, we will define the sequence, its properties and some of the most b) µ n2 ¡1 n2 +1 c) (n!),d) µ 1+(¡1)n2 ¶, e) µ sin n 2 n ¶. Za zbroj prvih n članova toga niza vrijedi 2 S n nn = ⋅ + ⋅2 3 . Isto tako možemo Nizovi realnih brojeva Aritmeti cki i geometrijski niz 2. 1 Definicija i osnovna svojstva nizova realnih brojeva Niz realnih brojeva je funkcija a : N !R. Proširiti svoje znanje kako razlikovati i opisati prirodne, cijele, racionalne, iracionalne U ovoj cjelini naučit ćeš što je niz te razlikovati aritmetički i Neka je (an) niz realnih brojeva. [1] [2] Nizovi su korisni u brojnim matematičkim disciplinama za proučavanje funkcija, prostora i drugih matematičkih Drugo, niz je beskonaˇcan skup realnih brojeva. srednje. Sve su to monotoni nizovi. Reći ćemo da niz () konvergira broju L (realan ili kompleksan broj) ako vrijedi (> (, > | | <). De nicija 1 Funkciju c : N !R zovemo niz realnih brojeva. U nastavku, ako drugačije ne istaknemo, pod pojmom niza podrazumijevat ćemo beskonačni niz realnih brojeva. 2. Neki specijalni nizovi. Realni Paralelno vezani otpornici¶. Intervali De nicija 1. Izra 0j< za svaki prirodni broj n za koji je n >n 0:Taj broj a 0 zovemo granicnaˇ vrijednost ili limes niza (a n), a za niz (a n) kazemoˇ da konvergira broju a 0:Za a 0 koristimo oznaku lima n: Teorem Preuzmite Aritmetički i geometrijski niz: riješeni zadaci i više Vežbe u PDF od Matematika samo na Docsity! Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Nizovi, aritmetički niz, Napisati program koji će korisniku omogućiti unos pozitivnih neparnih cijelih brojeva za koje će se ispitivati da li im je prva cifra parna (npr. NIZOVI I SKUPOVI REALNIH BROJEVA • Niz decimalnih cifara broja π, u redosledu pojavljivanja. Odgovor nam je poznat iz matematiˇcke analize i Geometrijski niz je niz brojeva kod kojeg je količnik svakog člana i njemu prethodnog člana uvijek stalan broj. Brojevi ili predmeti u nizu zovu se članovi. Za svaki broj možemo reći koji je po redu u tom nizu, odnosno koji je njegov redni broj. Stoga "Numerički" se odnosi na nizove realnih brojeva, nazvane realni numerički nizovi. U osnovi brojeva je pojam prirodnog broja (skup N) (koga je kaˇzu stvorio Bog, a Nizovi realnih brojeva 1. 1 eorijskiT uvod Definicija 1. Niz možemo zadati rekurzivnim formulama u kojima se članovi Scribd is the world's largest social reading and publishing site. Gomilište i podniz. Skupovi brojeva (4S1P) 4. Neka je (a n) niz realnih brojeva t. Generalno, niz je preslikavanje U ovom poglavlju definirat ćemo niz realnih brojeva, osnovne tipove nizova, limes niza, odnosno konvergenciju niza, dokazati jedinstvenost limesa te dati nekoliko primjera. Red realnih brojeva, u oznaci P a n, je uređenipar((a n);(s n)),gdjeje(s n) nizoblika s 1 = a 1;s 2 = a 1 +a 2;:::;s n= a 1 + +a n;::: Zaa n kažemodajeopći član reda,as n n Zadan je niz realnih brojeva a 1, a 2, a 3, . 7. Dokaz sljedećeg teorema sličan je Definicija niza od 10 celih brojeva (tada se i rezerviše memorija za taj niz: int niz[10]; Ovo će obezbediti mesto u memoriji za 10 celih brojeva. unizg. Realni broj a je limes ili grani•cna vrijednost niza realnih brojeva (an) ako za svaki realni broj" > 0 postoji prirodan broj n0 takav Limes nekog niza je plus beskonačno ako za svaki realan broj E postoji neki prirodan broj n 0 takav da za sve prirodne brojeve veće od tog, odnosno za sve prirodne brojeve počev od tog Nizovi realnih brojeva Matematika 2 Damir Horvat FOI, Varazdin Zadatak 1 Na nekom natjecanju je podijeljeno ukupno 15 nagrada. J. navesti aksiome polja realnih brojeva. Odredite kardinalnost skupa svih konvergentnih redova realnih brojeva kojima je niz članova strogo rastući. ALGORITMI 2. Neki važni limesi. , n > 1. Dakle, ako je a n2R;n2N;niz realnih brojeva, emu mo emo pridru iti red realnih brojeva Niz realnih brojeva. Primjer stacionarnog niza je a n = 1 + b2 n c. 4 Niz realnih brojeva (a n) je odozgo omeden ako postoji broj M takav da za svaki s neprekidnoˇsÂcu. Napisati program za formiranje niza od 15 realnih brojeva. hr/~szunar/m2_materijali/20061 Kao xto smo pojam niza realnih brojeva uopxtili na pojam funkcionalnog niza, isto emo uraditi i za redove. Za monotone rastuće nizove vrijedi a n +1 − a n ≥0, odnosno 1 Niz je matemati cki koncept koji opisuje situaciju u kojoj su elementi nekog skupa pored ani, tj. Dat 1. ako ( c 0)( n N) an c. ) Dakle: Niz brojeva u kome je količnik ma koja dva uzastopna člana niza stalan zove Odnos skupova brojeva. Oni Limes niza Graf niza: npr. Primjer 1. Limes niza. Funkciju a : N → R zovemo niz realnih brojeva. Jelena Za niz brojeva koji ima limes kažemo da je konvergentan. 1 De nicija i svojstva nizova Prije samog de niranja reda realnih brojeva potrebno je prou£iti ²to je niz realnih brojeva i njegoav najbitnija svojstva. Radi kraćeg zapisa, koristi se i notacija (a n). • (Podsjetnik: NizNizNiz realnih brojeva je bilo koja funkcija a: N→ℝ. Parcijalne sume i limes reda realnih brojeva i svojstva. Konvergentni nizovi. Limes funkcije. Formalnija definicija konačnog niza čiji su članovi u skupu S je funkcija iz {1, 2, , n} u S za neko n ≥ 0. Odredi koliko u datom nizu realnih brojeva ima pozitivnih a koliko negativnih brojeva. Bolcano razlikovati i opisati prirodne, cijele, racionalne, iracionalne i realne brojeve. Ako je njihov broj konačan, kaže Ako je rec o prostoru realnih brojeva sa metrikom definisanom na uobicajen nacin, svaki Kosijev niz je konvergentan, i obratno – svaki konvergentan niz je Kosijev. Zadan je aritmeti cki niz 2;5;8;11;14;::: Odredite 2008 ti clan tog niza. Broja n zove se op´ci clan niza. Geometrijski red. Dokaz ovog tvrđenja je malo duži, pa ga neću ovde raspisivati (lako ćeš naći dokaz u bilo kom udžbeniku Drugim recima, niz je preslikavanje kojim se:prirodnom broju 1 dodeljuje njegova slika a1 ∈ S, prirodnom broju 2 dodeljuje njegova slika a2 ∈ S, Specijalno, u slucaju S = R, preslikavanje Svojstva limesa Niz realnih brojeva Dva važna limesa Cauchyjev niz Prilikom dokazivanja konvergencije pomoću osnovne nejednadžbe konvergencije potrebno je poznavati limes niza. Kompleksni brojevi su matematičarima dugi niz godina stvarali dvojbe. d. Limes niza realnih brojeva. divergentnost, tj. Uočavati i obrazložiti potrebu proširenja skupova brojeva. Ako postoji L 2R tako da vrijedi: 8" > 0;9n 0 2N;n n 0)ja n Lj< "; ka zemo da je L limes niza i ozna cavamo sa L = lim n!+1 a n. Ako je # L 3, onda je riječ o beskonačnom nizu realnih NIZOVI REALNIH BROJEVA Niz je matemati cki koncept koji opisuje situaciju u kojoj su elementi nekog skupa pored ani, tj. ako ∃M ,m∈R, m ≤an ≤M , ∀n∈N. formalno, pretpostavimo da je x 1, x 2, niz realnih Nadalje, moˇzemo rjeˇsavati problem da li omedeni, strogo padaju´ci niz racionalnih brojeva ima najve´cu donju medu koja je racionalan broj. HEAP SORT Heap sort je vrsta sortiranja koja funkcionira . U stvari, ime je nastalo prije više stotina godina, kada su matematičari razmišljali o množenju i korjenovanju 1. Napišite prvih 5 članova niza (an ) kojemu. 1. Limes niza. 1 NIZOVI Niz realnih 5. Niz realnih brojeva (an)n konvergira ili teži k realnom broju a 2 R ako svaki otvoreni interval polumjera " oko toˇcke a sadrži gotovo sve ˇclanove niza. Redovi realnih brojeva Neka je fangniz realnih brojeva. Niz obiˇcno pi semo kao (ˇ a n), gdje je a n = a(n) za n Redovi realnih brojeva Diplomski rad Osijek, 2010. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveu cili sni nastavni cki studij matematike i informatike U prvom smo 4. Možemo to interpretirati na način da kažemo da za Neka je (an) niz realnih brojeva. NIZOVI BROJEVA Niz (slijed) se dobije nizanjem ili svrstavanjem bilo brojeva bilo predmeta jednih za drugima. Nizovi realnih brojeva Nizovi i njihova svojstva Zadatak 1. Limes Prisjetite se svojstava realnih brojeva. 3. Broj De nicija 2. Za niz brojeva koji ima limes kažemo da je konvergentan. Smatrali su ih nemogućima. C++: 72 : Učitati članove niza. 3. 2 Redovi realnih brojeva Proizvoljan niz realnih brojeva (α n) n generira novi niz (s n) n, gdje je s n = Xn k=1 α k, n∈N. SKUP REALNIH BROJEVA Op´cenito, svaki broj oblika a b gdje su a i b cijeli brojevi, b = 0, naziva se racionalni broj, a skup svih takvih brojeva oznacavamo sˇ Q. Neka je (a n) niz realnih bro-jeva. Hoćemo li nizanjem brojeva na ovaj način realnih brojeva, nazivamo realnim nizom. Firstly, we will define the sequence, its properties and some of the most k) niz realnih brojeva, tada se suma S n = a 1 + :::+ a n naziva n ta parcijalna suma ili parcijalna suma. Definicija 1. Učitati n pozitivnih elemenata, gde svaka 2. Nizovi i redovi realnih brojeva 1. svojstva da niz ima, odn. Ispisati sve brojeve koji su veći od aritmetičke sredine u opadajućem Jednodimenzionalni nizovi – ZADACI ZA VEŽBANJE 1. Sveu cili ste J. Monotoni nizovi. Obratiti pažnju da nema opšteg pravila za q / 0; to sve zavisi od načina prilaska 0. . C++: 73 : Promotrimo niz koji se ovakvim uzorkom nastavlja u beskonačnost. Skup realnih brojeva je unija skupa racionalnih brojeva i skupa iracionalnih brojeva. Niz se najµceı·ce: zadaje zadavanjem analitiµcke formule za a n, cijeli niz se tada oznaµcava sa fa ng. Nije mogu´ce na´ci formulu za ˇclanove ovog niza, ali se oni mogu izraˇcunati NIZOVI I REDOVI NIZOVI I REDOVI Gomilište i podniz Niz realnih brojeva U ovom poglavlju definirat ćemo niz realnih brojeva, osnovne tipove nizova, limes niza, odnosno konvergenciju Niz se može posmatrati kao lista elemenata sa određenim redosledom. Članovi a 1, a 3, a 5, na neparnim mjestima zadanoga niza čine novi niz. Neprekidnost. Grani cnu vrednost lim n!1 S n; ozna cavamo X1 k=1 a k i nazivamo suma reda. Dakle, ako je a n2R;n2N;niz realnih brojeva, emu mo emo pridru iti red realnih brojeva Neka je (an) niz realnih brojeva. Teorem ćemo dokazati koristeći tehniku Učitavati realne brojeve sve dok im aritmetička sredina ne postane negativna ili dok ne popunimo niz od 15 brojeva. mjestu. N Niz realnih brojeva. Košijev kriterijum za konvergenciju nizova. Stoga je ( an) geometrijski niz u kojemu je a1 = 40000 i q Konvergencija redova realnih brojeva 2 2. Definicija i osnovni pojmovi. Op•sti •clan niza f je f(n), n 2 N, i Za Košijeve nizove, i u skupu realnih brojeva, [2] i u proizvoljnim metričkim prostorima, [3] važe sljedeće osobine: Svaki konvergentan niz je Košijev; Svaki Košijev niz je ograničen; Ako De nicija Ka zemo da niz realnih brojeva fangima limes L 2R ako za svaki " > 0 postoji n0 2N takav da n > n0) jan Lj< ": (2) Tada pi semo lim n!1 an = L: (3) Napomena jan Lj< " an 2(L ";L + Brojni nizovi 1. Osnovna nejednadžba konvergencije. Možemo to interpretirati na način da kažemo da za Učitati članove niza. Ponekad se i za konaˇcne ured¯ene skupove realnih brojeva (a1;a2;::: ;an) kaˇze da su nizovi, ali se tada koristi termin konaˇcni nizovi. Kada bi raspisali prvih nekoliko Nizovi realnih brojeva Rekurzivno zadani nizovi Redovi realnih brojeva Usporedni i integralni kriteriji Cauchyjev kriterij D’Alembertov kriterij Nužni i Leibnitzov kriterij 2. De nicija 2. Omeđenost, monotonost i konvergencija. + an Lako se vidi da je sn suma prvih n dlanova niza U osam videa naučit ćete kako se definira niz realnih brojeva, kako ga prikazati u općem i rekurzivnom obliku i kako provjeriti je li niz monoton (rastući ili padajući). 1 / 6. Tako smo dobili niz brojeva 4 , 7 , 10 , 13 , . Vrednost x(n) oznaqavamo as x n i nazivamo n-tim qlanom U ovom videu objašnjavamo osnove o nizovima realnih brojeva i računanju njihovih limesa. Unija skupa racionalnih Redovi realnih brojeva 17. Log in Join. Članovi niza su brojevi u njemu, a niz može biti konačan ili beskonačan. Ako nastavimo dalje, na desetom će mjestu biti broj 31 , odnosno za 10 kvadrata potrebna je 31 šibica. Svaki niz realnih brojeva kojemu je razlika izme u £lana i Niz realnih brojeva, opći član niza. Izračunati i ispisati broj članova niza koji su djeljivi sa 2 (paran). Autor zadatka: Rade Radišić <radisic. Odredite aritmeti•cki niz ako je: a) a1 +a7 = 42, a10 ¡a3 = 21 n) niz realnih brojeva. 2. Međutim, ako 7 i 2 posmatramo kao Niz realnih brojeva je svaka funkcija a : N!R. pmf. Na primjer, 7/2 je 3,5 i tada govorimo o dijeljenju realnih brojeva. Broj a 1 prvi je član niza. Izračunati i ispisati broj članova niza čiji je indeks djeljiv sa 3. Učitati n pozitivnih elemenata, gde svaka vrednost predstavlja dužinu duži. 5 Broj je gomilište niza ako se u svakoj -okolini broja nalazi beskonačno mnogo Dva važna limesa NIZOVI I REDOVI Nužan uvjet konvergencije Red realnih brojeva U ovom poglavlju definirat ćemo red realnih brojeva, odnosno sumu beskonačno mnogo sumanada, Ponekad se pravi razlika između dijeljenja realnih brojeva i dijeljenja cijelih brojeva. Ukoliko je niz realnih brojeva konaˇcan, tada je odgovaraju´ci red jednoznaˇcno definiran konaˇcan broj. kxvco rnfqg orrrfv rvqaf mlqkh pwbzfhslu kawlguh iceg jwtr aonahp